Шолбан Кужугет родился в городе Чадан Республики Тыва. В 2011 году окончил Кемеровскую государственную медицинскую академию. Профессиональную карьеру начал в 2013 году. Первоначально работал врачом-хирургом в приемном отделении Республиканской больницы №1, в 2015 году возглавил отделение в качестве заведующего.

В 2019 году был назначен заместителем главного врача Республиканской больницы №1 по организационно-методической работе. В 2020 году за вклад в борьбу с COVID-19, самоотверженность и высокий профессионализм, проявленные при исполнении врачебного долга, награжден Почетной грамотой Министерства здравоохранения Республики Тыва.

В сентябре 2021 года Шолбан Кужугет стал главным врачом Республиканской больницы №2. В феврале 2023 года был назначен директором территориального фонда ОМС Республики Тыва.

На региональных выборах в сентябре 2024 года Шолбан Кужугет был избран депутатом Верховного Хурала Республики Тыва четвертого созыва, совмещал парламентскую работу со службой в системе ОМС.

Имя сменщика Шолбана Кужугета на посту директора ТФОМС пока не названо. Как следует из данных официального сайта организации, его обязанности может исполнять первый заместитель директора ТФОМС Республики Тыва Татьяна Полежаева.