Алексей Вовченко в 1997 году завершил обучение в Смоленском государственном педагогическом институте им. К. Маркса по специальности «филология», а в 2001 году – в Московском государственном институте международных отношений по специальности «юриспруденция». С 1997 года был ведущим специалистом в администрации Смоленска. С 1998 по 2002 год работал заместителем председателя Комитета по делам молодежи, затем заместителем начальника и первым замначальника Главного управления труда и социального развития Смоленской области.

В 2002 году перешел на должность заместителя исполнительного директора Фонда социальной поддержки населения Смоленской области. С 2003 по 2004 год занимал различные должности в Департаменте занятости населения Минтруда РФ – от главного специалиста до начальника отдела.

Затем в течение года был начальником Управления альтернативной гражданской службы и трудовой миграции Федеральной службы по труду и занятости. В 2006 году перешел на должность главы Департамента социальной защиты населения Тверской области. С 2007 по 2012 год работал замруководителя Федеральной службы по труду и занятости.

В 2012 году Алексея Вовченко назначили заместителем министра труда и социальной защиты РФ. В 2015 году он занял должность первого замминистра, но в октябре 2021 года его снова понизили до заместителя.

На этой позиции он координировал вопросы в сфере оказания протезно-ортопедической помощи и реабилитации инвалидов, в том числе обеспечения их техническими средствами реабилитации, проведения медико-социальной экспертизы. Под его руководством прорабатывались вопросы совершенствования законодательства и выработки единой стратегии в сфере социальной реабилитации и интеграции инвалидов, а также координации исполнения иных программ по созданию и устойчивому развитию доступной для инвалидов среды и равных возможностей.

Также Алексей Вовченко курировал в Минтруде исполнение Конвенции ООН о правах инвалидов и координировал вопросы взаимодействия с Комитетом ООН по правам инвалидов, взаимодействия и государственной поддержки деятельности общественных объединений инвалидов.

В начале января 2025 года Владимир Путин утвердил состав Комиссии при Президенте РФ по делам инвалидов. Всего в список попали 35 человек, в том числе из медицинской сферы, общественники и представители НКО. Тогда в состав комиссии вошел и Алексей Вовченко.