Елена Теплякова окончила педиатрический факультет Ростовского ГМУ, является доктором медицинских наук. В разное время работала заместителем начальника Управления здравоохранения города Ростова-на-Дону, начальником отдела охраны здоровья матери и ребенка, возглавляла Детскую поликлинику № 4 в Ростове.
С 2001 года занимала должность заместителя министра здравоохранения Ростовской области, в 2021 году была назначена первым заместителем.
Указом губернатора Ростовской области Юрия Слюсаря 19 сентября 2025 года от должности министра здравоохранения региона был освобожден Юрий Кобзев, занимавший пост с декабря 2020 года. Решение было принято на фоне вступления Слюсаря в должность главы региона после выборов и формирования новой команды правительства.
В декабре 2020 года Кобзев сменил Татьяну Быковскую – министр ушла в отставку 27 октября после случаев смерти пациентов с COVID-19, подключенных к аппаратам ИВЛ, в одном из перепрофилированных медцентров города. По предположению местных СМИ, они могли погибнуть из-за нехватки медицинского кислорода, однако региональные власти это отрицали.
В ноябре 2019 года Быковская также стала фигуранткой уголовного дела о превышении должностных полномочий (ч. 1 ст. 286 УК РФ). Как полагали следователи, она на протяжении года помогала руководителю швейцарской AFD Group SA Александру Данченко, компания которого создала в регионе предприятие «Центр 100 Ростов-на-Дону» по утилизации медотходов. По итогам торгов компания заключила с Минздравом региона и четырьмя местными медорганизациями антиконкурентное соглашение об оказании услуг по обращению с медотходами класса «Б».
Кущевский районный суд Краснодарского края в конце марта 2024 года вынес приговор Татьяне Быковской. Экс-чиновницу признали виновной, ей назначили 4,5 года колонии общего режима.
