Алексей Натаров в 2008 году завершил обучение в Воронежской государственной медицинской академии им. Н.Н. Бурденко по специальности «педиатрия». Трудовую деятельность начал на Воронежской станции скорой медицинской помощи, затем был врачом-урологом в городских клинических поликлиниках № 1 и № 7 и главврачом в ООО «Первая скорая» в Воронеже.

В 2022 году был назначен первым заместителем министра здравоохранения Тверской области. С ноября 2022 по июль 2024 года работал главврачом Лискинской районной больницы. Затем его назначили министром здравоохранения Крыма.

«Должна поддерживаться эффективная коммуникация с жителями республики, выстроена работа по обеспечению крымчан льготными лекарственными препаратами», – указал Сергей Аксёнов во время первого назначения Алексея Натарова на должность.

Проблема с обеспечением жителей региона лекарствами обострилась в апреле 2024 года. Бывший министром здравоохранения Константин Скорупский пообещал решить вопрос и закупить около 50 позиций препаратов к середине мая либо – при сохранении проблемы – покинуть пост. В результате Скорупский подал заявление об увольнении 16 мая. Поступок экс-министра Сергей Аксёнов назвал «мужским».

После Скорупского и до Натарова временно руководила ведомством первый замглавы Минздрава региона Ольга Растригина.