Александр Витько в 1989 году окончил Хабаровский государственный медицинский институт по специальности «лечебное дело», в 1998 году завершил обучение в Хабаровской государственной академии экономики и права по специальности «финансы и кредит». В 1989 году начал работать в качестве клинического ординатора кафедры госпитальной хирургии Хабаровского ГМИ. С 1991 по 1992 год был врачом отделения торакальной хирургии 301-го военного госпиталя в Хабаровске, затем четыре года работал врачом-онкологом хирургического отделения Краевого онкодиспансера.
В 2000 году пришел на работу в один из отделов краевого Минздрава. В 2005 году его назначили главным врачом Краевого клинического центра онкологии в Хабаровске, а спустя год он перешел на должность первого заместителя министра здравоохранения Хабаровского края – начальника управления кадровой политики, информационной и экспертной работы.
Министром здравоохранения региона Александр Витько стал в марте 2007 года, после чего возглавлял ведомство 13 лет – до августа 2020 года. Среди причин отставки – «неудовлетворительная работа по развитию здравоохранения в регионе»: 90% всех поступавших обращений были связаны с медициной.
В 2017 году, будучи министром здравоохранения, стал фигурантом уголовного дела. Чиновника заподозрили в злоупотреблении полномочиями при организации закупок дезинфицирующих средств (ч. 1 ст. 285 УК РФ). Спустя время дело, возбужденное по инициативе компании-поставщика «АльфаМед» и регионального УФСБ, закрыли, но в марте 2018 года возбудили снова. Изначально ущерб оценивался в 5,48 млн рублей, затем сумму снизили до 279,6 тысячи рублей. В итоге в мае 2018 года дело закрыли окончательно.
В марте 2022 года стал исполнять обязанности главного врача Находкинской городской больницы в Приморском крае. На посту он сменил Альфию Семенюк, которая в феврале уволилась по собственному желанию. Согласился руководить «одним из самых непростых учреждений» – тогда часть работников медорганизации отказывалась выполнять свои обязанности, из-за того что им не начисляли заработную плату. Но уже спустя месяц Александр Витько покинул должность. В региональном Минздраве сообщали, что отставка произошла «по семейным обстоятельствам».
